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神奇的Pi

你可以已经知道或者学过了,数学计算中有个一有关圆形计算的常数“Pi”。你甚至能够背诵一长串它的数字,3.1415……对不对(因为Pi值近似于3.14,所以每年的3月14日也被定为Pi日)。但是,你知道它是怎么来的吗?知其然,也要知其所以然。今天,我们就来通过一些简单的活动,一起探索Pi的秘密吧。

  1. 你可以把本篇文章中的这个大圆(段注:美编注意,这里有个大圆,周长为22厘米,方便学生剪下来边阅读后面内容,边用这个圆做探索活动)沿着线的外沿,剪下来。为了操作的方便,建议你把这个剪下来的圆贴在硬纸板上,再沿着圆的边线,剪下来一个硬圆板。 

  2. 找一根软绳,沿着硬纸板的外部边界,绕一圈,首尾相接之后,这个软绳的长度就是硬纸板圆的周长了。 

  3. 把软绳拿下来,用尺子量一量长度,是不是将近有22厘米的长度? 

  4. 接下来,让我们用尺子量一量这个圆的直径,你需要做的,只是将这把尺子穿过圆心就可以了。然后,你读取直尺和圆的两端相交位置的数字,计算出来直径的长度。 

  5. 好了,现在你有三种方法来得到

(1)  第一种,测量法:你可以多次实地测量圆的直径,然后看一看这个数字和圆的周长的关系。基本上每次都是3.14左右,对不对?

(2)第二种,除法:用22的周长,除以直径7,等于3.14

(3)第三种,代数法:我们知道圆的周长等于Pi(一个常数)乘以直径,所以代入相应的数字,求常数即可。

这个解释还是说的不太清楚,我们今天教大家用微积分的方法来解决这个问题。听起来,是不是挺玄妙的?操作起来其实并不难。

  1. 在白纸上,重新画一个我们刚才用于做探索的圆
  2. 在圆的外面,画一个正方形,正方形的四条边,都与圆贴合,我们称其为切线。
  3. 将这个正方形的对角线连接起来,你会发现均过圆心。
  4. 将两条对角线与圆相交形成的四个点连接起来,你在圆的内部,会得到一个小的正方形。
  5. 下面,让我们假设,圆的直径是“单位1”,那么大的正方形的边长就是圆的半径就是0.5,进一步我们利用勾股定理,也可以计算出来小正方形的边长为0.7.
  6. 想象一下,外界的大正方形和内部的小正方形什么时候才能无限趋近与中间这个圆的周长呢?那就是把正方形的边不断增加,从4边形增加为6边形,从6边形增加为8边形,从8边形增加为10边形……以此类推。当外部的正方形的边不断增加的过程中,它的边长就不断减小,趋近于里面的圆,而对于小正方形来说,边数不断增加,那么边长就不断增大,趋近于外面的圆,最后的理想情况就是两个正方形和中间的这个圆完全重合,那么它们两个的边长之和再除以2,就等于圆的周长了。这个思想,就是微积分的思想。好了,4边形,6边形,8边形,10边形……的周长,我们都可以计算出来,所以,如果你能计算的边数越多,你所能得到的圆的周长就约精确,而通过这个方法,能够得到的Pi的值,也就越精确。你来试试吧。

游戏升级

Pi确实是一个有魔力的数字,你可以寻找生活中随处可见的圆形来进一步探索,量一量光盘的直径,算一算汽车轱辘的周长,你们城市的摩天轮,多长时间才能转一圈?这些问题,有了Pi,都能解决。

本文发表于《知识就是力量》2018年10月刊

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